Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x${\;}^{3}-\frac{9}{2}{x}^{2}+6x-a$．
（1）求f（x）的極值；
（2）若方程f（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)為0，求出極值點(diǎn)．利用函數(shù)的單調(diào)性求解極值即可．
（2）利用函數(shù)的極值結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x${\;}^{3}-\frac{9}{2}{x}^{2}+6x-a$．
可得f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2）
令 f′（x）=0解得 x=1，x=2…..2分
 

x	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	增	$\frac{5}{2}-a$	減	2-a	增

…..6分
當(dāng) x=1時(shí)，f（x）取得極大值為 $f（1）=\frac{5}{2}-a$，
當(dāng) x=2時(shí)取得極小值為 f（2）=2-a…..8分
（2）由上表可知當(dāng)f（2）＞0  或 f（1）＜0時(shí)，方程f（x）=0僅有一個(gè)實(shí)根．
解得a＜2 或a＞$\frac{5}{2}$．…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值，考查計(jì)算能力．