Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）、根據(jù)題中已知條件直接化簡，然后令

an

3n

=bn，得到則bn+1-bn=1-

1

3

(

2

3

)n，求出b_n的表達式，繼而可以求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）、由（1）中求得的數(shù)列{a_n}的通項公式將an分成兩部分，2ⁿ和（n-1）3ⁿ先求出（n-1）3ⁿ的前n項和Tn，然后加上2ⁿ的前n項和便可求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ（n∈N^*）
可得

an+1

3n+1

-

an

3n

=1-

1

3

(

2

3

)n（2分）
令

an

3n

=bn，則bn+1-bn=1-

1

3

(

2

3

)n（3分）
∴當n≥2時，b_n-b_n-1+b_n-1-b_n-2+…+b₃-b₂+b₂-b₁=(n-1)-

1

3

[(

2

3

)+(

2

3

)2++(

2

3

)n-1]（5分）
=(n-1)-

2

3

[1-(

2

3

)n-1]
∴bn=b1+(n-1)-

2

3

[1-(

2

3

)n-1]bn=(n-1)+(

2

3

)n（6分）
∴a_n=3ⁿb_n=2ⁿ+（n-1）3ⁿ（7分）
（2）令T_n=3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-2）3^n-1+（n-1）3ⁿ，①（8分）
    3T_n=3³+2•3⁴+3•3⁵+…+（n-2）3ⁿ+（n-1）3ⁿ⁺¹②（9分）
①式減去②式得：-2Tn=32+33+…+3n-(n-1)3n+1=

3n+1-32

2

-(n-1)•3n+1，（10分）
∴Tn=

(n-1)3n+1

2

-

3n+1-32

4

=

(2n-3)•3n+1+9

4

．（12分）
∴數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=

(2n-3)3n+2+9

4

+2n+1-2=

(2n-3)3n+1+2n+3+1

4

．（14分）

點評：本題考查的數(shù)列通項公式和前n項和的求法，考查了學生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，是各地中考的熱點，屬于中檔題．