Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（0＜a＜1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（3）若函數(shù)f（x）的最小值為-1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由

1-x＞0 x+3＞0

，求得x的范圍，即可求得函數(shù)的定義域．
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，由f（x）=0，得-x²-2x+3=1，結(jié)合x的范圍，求得x的值，即為所求．
（3）化簡(jiǎn)函數(shù)為loga[-(x+1)2+4]，根據(jù)-3＜x＜1，以及0＜a＜1，求得函數(shù)的最小值，再根據(jù)最小值等于-1求得a的值．

解答：解：（1）要使函數(shù)有意義：則有

1-x＞0 x+3＞0

，
解之得：-3＜x＜1，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋海?3，1）．
（2）函數(shù)可化為f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)，
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1，
即x²+2x-2=0，x=-1±

3

．
∵-1±

3

∈(-3，1)，
∴f（x）的零點(diǎn)是-1±

3

．
（3）函數(shù)可化為：f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4]，
∵-3＜x＜1，
∴0＜-（x+1）²+4≤4．
∵0＜a＜1，
∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4，
即f（x）_mim=log_a4，由log_a4=-1，求得a^-1=4，∴a=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，屬于中檔題．