Question

15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若tanA=$\frac{sinC}{1-cosC}$；
（1）求$\frac{a}$；
（2）若△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，c=$\sqrt{2}$，求角C．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，去分母整理后，利用正弦定理化簡即可求出所求式子的值；
（2）利用三角形面積公式及余弦定理分別列出關(guān)系式，聯(lián)立即可求出C．

解答 解：（1）因?yàn)閠anA=$\frac{sinC}{1-cosC}$=$\frac{sinA}{cosA}$，
即sinA-sinAcosC=cosAsinC，
整理得：sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
利用正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$
化簡得：a=b，
則$\frac{a}=1$；
（2）∵a=b，△ABC面積為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，c=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$a²sinC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$①，
cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{a}^{2}-2}{2{a}^{2}}$，即1-$\frac{1}{{a}^{2}}$=cosC②，
聯(lián)立①②解得：1-$\sqrt{3}$sinC=cosC，所以2sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，解得C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，所以C=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵