Question

7．過拋物線y²=4x焦點的直線與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，如果x₁+x₂=6，求以線段AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析 設(shè)過拋物線y²=4x焦點F（1，0）的直線為y=k（x-1），代入拋物線方程，運用韋達(dá)定理，可得k，由中點的橫坐標(biāo)可得縱坐標(biāo)，再由拋物線的定義，可得圓的半徑，即可得到圓的方程．

解答 解：設(shè)過拋物線y²=4x焦點F（1，0）的直線為y=k（x-1），
代入拋物線方程，可得k²（x-1）²-4x=0，
即有k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
即為x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
由x₁+x₂=6，可得k=±1，
即有直線為y=±（x-1），
則AB的中點為（3，±2），
由拋物線的定義可得|AB|=x₁+x₂+2=8，
即有半徑為4，
則所求圓的方程為（x-3）²+（y±2）²=16．

點評 本題考查拋物線的定義和方程的運用，注意直線和方程的聯(lián)立，運用韋達(dá)定理，同時考查圓的方程的運用，屬于中檔題．