Question

19．已知M（-1，0），F(xiàn)（1，0），動點P滿足$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MF}=2|{\overrightarrow{FP}}|$，過F的直線交P的軌跡C于A，B兩點，若AB的垂直平分線經(jīng)過點Q（0，5），求直線AB的斜率．

Answer 1

分析 利用動點P滿足$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MF}=2|{\overrightarrow{FP}}|$，建立方程，化簡，求動點P的軌跡C的方程，設(shè)AB的方程為y=k（x-1），代入y²=4x，求出AB的中點坐標，利用AB的垂直平分線經(jīng)過點Q（0，5），求直線AB的斜率．

解答 解：設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{MP}$=（x+1，y），$\overrightarrow{FP}$=（x-1，y），$\overrightarrow{MF}$=（2，0），
∵$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MF}=2|{\overrightarrow{FP}}|$，
∴2（x+1）=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
∴y²=4x；
設(shè)AB的方程為y=k（x-1），代入y²=4x，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴AB的中點坐標為（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
∵AB的垂直平分線經(jīng)過點Q（0，5），
∴AB的垂直平分線的斜率為$\frac{\frac{2}{k}-5}{1+\frac{2}{{k}^{2}}}$，
∴$\frac{\frac{2}{k}-5}{1+\frac{2}{{k}^{2}}}$•k=-1，
∴k=1，即直線AB的斜率是1．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．