Question

【題目】設(shè)拋物線，點(diǎn)， ，過點(diǎn)的直線與交于， 兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；

（2）證明： ．

Answer 1

【答案】(1) y=或．

(2)見解析.

【解析】分析：(1)首先根據(jù)與軸垂直，且過點(diǎn)，求得直線l的方程為x=1，代入拋物線方程求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，利用兩點(diǎn)式求得直線的方程；

(2)分直線l與x軸垂直、l與x軸不垂直兩種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關(guān)系來體現(xiàn)，從而證得結(jié)果.

詳解：（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x=2，可得M的坐標(biāo)為（2，2）或（2，–2）．

所以直線BM的方程為y=或．

（2）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN．

當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，M（x1，y1），N（x2，y2），則x1>0，x2>0．

由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．

直線BM，BN的斜率之和為

．①

將， 及y1+y2，y1y2的表達(dá)式代入①式分子，可得

．

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM=∠ABN．

綜上，∠ABM=∠ABN．