Question

【題目】已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn) ，在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)．

（1） 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2） 若點(diǎn)在第一象限且是漸近線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1);(2)

【解析】分析：（1）由雙曲線離心率為，設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入方程得，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）由（1）得雙曲線的漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，得到向量的坐標(biāo)，由，求得的值，即可得到結(jié)果．

詳解：（1）因?yàn)殡p曲線離心率為，所以是等軸雙曲線，

∴設(shè)雙曲線方程為，

將點(diǎn)代入方程得：，所以，

雙曲線方程為：．

（2）因?yàn)榈容S雙曲線的漸近線方程為，

點(diǎn)在第一象限且是漸近線上的點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵等軸雙曲線 ，所以，

不妨設(shè) ），

所以，，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以，

解得（舍去負(fù)值），

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．