Question

2．已知f₁（x）=sinx+cosx，記${f_2}（x）={f_1}'（x），{f_3}（x）={f_2}'（x），…，{f_n}（x）={f_{n-1}}'（x），（n∈{N^*}，n≥2）$，則${f_1}（\frac{π}{2}）+{f_2}（\frac{π}{2}）+…+{f_{2015}}（\frac{π}{2}）$=-1．

Answer 1

分析 利用三角函數求導法則求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…觀察所求的結果，歸納其中的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)標號的周期性為4，再將代入，每四項的和是一個常數，即可求得正確答案．

解答 解：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴${f_1}（\frac{π}{2}）+{f_2}（\frac{π}{2}）+…+{f_{2015}}（\frac{π}{2}）$=f₁（$\frac{π}{2}$）+f₂（$\frac{π}{2}$）+f₃（$\frac{π}{2}$）=-sin$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$=-1，
故答案為：-1．

點評 本題考查了導數的運算以及三角函數的應用問題，解題時應考查函數f_n（x）的周期性，總結規(guī)律，求出正確的答案．