Question

7．若關(guān)于x的方程|x⁴-x³|=ax在R上存在4個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． $（{0，\frac{4}{27}}）$
• B． $（{0，\frac{4}{27}}]$
• C． $（{\frac{4}{27}，\frac{2}{3}}）$
• D． $（{\frac{4}{27}，\frac{2}{3}}]$

Answer 1

分析 根據(jù)方程和函數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：當(dāng)x=0時，0=0，∴0為方程的一個根．
當(dāng)x＞0時，方程|x⁴-x³|=ax等價為a=|x³-x²|，
令f（x）=x³-x²，f′（x）=3x²-2x，
由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{2}{3}$，由f′（x）＞0得x＜0或x＞$\frac{2}{3}$，
∴f（x）在$（{0，\frac{2}{3}}）$上遞減，在$（{-∞，0}），（{\frac{2}{3}，+∞}）$上遞增，又f（1）=0，
∴當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時，函數(shù)f（x）取得極小值f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{27}$，則|f（x）|取得極大值|f（$\frac{2}{3}$）|=$\frac{4}{27}$，
∴設(shè)$g（x）=\frac{{|{{x^4}-{x^3}}|}}{x}=\left\{\begin{array}{l}|{f（x）}|，x＞0\\-|{f（x）}|，x＜0\end{array}\right.$的圖象如下圖所示，
則由題可知當(dāng)直線y=a與g（x）的圖象有3個交點時0＜a＜$\frac{4}{27}$，
此時方程|x⁴-x³|=ax在R上存在4個不同的實根，
故$a∈（{0，\frac{4}{27}}）$．
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，運算量較大．