Question

5．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對任意的實(shí)數(shù)x，y，均有f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）≠0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．
（1）證明：f（0）=1；
（2）證明：f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）若f（x-2）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，令x=y=0，即可求解，
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，結(jié)合當(dāng)當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，可得f（x₁）＞f（x₂），進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性以及抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）令x=y=0，則f（0+0）=f（0）f（0）=f（0），
∵f（x）≠0，
∴f（0）=1．
（2）∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1
∴設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
則x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）∵f（0）=1，
∴f（x-2）•f（2x-x²）＞1等價(jià)為f（x-2）•f（2x-x²）＞f（0），
即f（x-2+2x-x²）＞f（0），
∵函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴x-2+2x-x²＞0，
即x²-3x+2＜0，
解得1＜x＜2，
即不等式的解集為（1，2）．

點(diǎn)評 本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性證明問題．抽象函數(shù)的單調(diào)性的判定，以及賦值法的應(yīng)用，在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的定義、轉(zhuǎn)化法以及賦值法等知識．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力，綜合性較強(qiáng)．