Question

17．過(guò)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P（x₀，y₀）引橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的割線PAB，其中點(diǎn)A．B在橢圓上，點(diǎn)M是割線PAB上異于P的一點(diǎn)，且滿足$\frac{AM}{MB}$=$\frac{AP}{PB}$．
求證：點(diǎn)M在直線$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1上．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，設(shè)$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{AP}$=-t$\overrightarrow{PB}$，M（x，y），運(yùn)用向量的共線的坐標(biāo)表示，計(jì)算
x₀x，y₀y，即可得證．

解答 證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
設(shè)$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{AP}$=-t$\overrightarrow{PB}$，M（x，y），
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+t{x}_{2}}{1+t}}\\{y=\frac{{y}_{1}+t{y}_{2}}{1+t}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{{x}_{1}-t{x}_{2}}{1-t}}\\{{y}_{0}=\frac{{y}_{1}-t{y}_{2}}{1-t}}\end{array}\right.$，
即有x₀x=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{t}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{1-{t}^{2}}$，y₀y=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{t}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{1-{t}^{2}}$，
則$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=$\frac{1}{1-{t}^{2}}$[（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$）-t²（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$）]
=$\frac{1}{1-{t}^{2}}$•（1-t²）=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和運(yùn)用，考查向量的共線的坐標(biāo)表示，以及化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．