Question

已知：四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1.

(Ⅰ) 求證：BC∥平面PAD；

(Ⅱ)若E、F分別為PB、AD的中點(diǎn)，求證：EF⊥平面PBC；

(Ⅲ)求二面角B-PA-C的余弦值. 

Answer 1

方法1：

(Ⅰ)解：因?yàn)锳BCD是正方形，

所以BC∥AD.

因?yàn)锳D平面PAD，BC平面PAD，

所以BC∥平面PAD.    

(Ⅱ)

證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，

且ABCD是正方形，

所以PC⊥BC.

設(shè)BC的中點(diǎn)為G，

連結(jié)EG，F(xiàn)G，則EG∥PC，F(xiàn)G∥DC.

所以BC⊥EG，BC⊥FG.

因?yàn)?EG∩FG=G，

所以BC⊥面EFG.

因?yàn)镋F面EFG，

所以BC⊥EF.                ①  

又設(shè)PC的中點(diǎn)為H，且E為PB中點(diǎn)，

連結(jié)DH，

所以EHBC.

又BCAD，且EHAD.

所以四邊形EHDF是平行四邊形.

所以EF∥DH.

因?yàn)榈妊�直角△PDC中，H為底邊PC的中點(diǎn)，

所以DH⊥PC，即EF⊥PC.     ②

因?yàn)镻C∩BC=C，              ③

由①②③知EF⊥平面PBC.  

（②的證明也可以通過連結(jié)PF、FB，由△PFB為等腰三角形證明）

(Ⅲ)（理科）

解法1：

設(shè)PA的中點(diǎn)為M，連結(jié)MC，

依條件可知△PAC中PC=AC，

所以MC⊥PA.      ①

又PD⊥平面ABCD，∠BAD=90°，

所以AB⊥PA.

因?yàn)镸、E均為中點(diǎn)，

所以ME∥AB.

所以ME⊥PA.      ②

由①②知∠EMC為所求二面角的平面角.

連結(jié)EC，在△MEC中，容易求出ME=，MC=，EC=. 

所以cos∠EMC==，即所求二面角的余弦值是.

解法2：

過點(diǎn)C作CS⊥平面ABCD，使CS=PD.

連結(jié)PS，SB，

因?yàn)镻D，AD，DC兩兩垂直，且四邊形

ABCD為正方形，

故容易證明幾何體PAD-SBC為三棱柱.

(即以PAD為底面，以DC為高構(gòu)造三棱柱

PAD-SBC)

設(shè)BS的中點(diǎn)為Q，PA中點(diǎn)為N，

連結(jié)NQ，NC.

因?yàn)锳BSP為矩形，N、Q分別為中點(diǎn)，

所以NQ⊥PA.

又△APC中，AC=PC，N為中點(diǎn)，

所以NC⊥PA.

所以∠CNQ為所求二面角的平面角.

因?yàn)锽C=CS，所以CQ⊥BS.

又面BCS⊥面ABSP，所以CQ⊥面ABSP.

因?yàn)镹Q面ABSP，所以CQ⊥NQ.

在Rt△NCQ中，容易求出NQ=1，NC=，

所以cos∠CNQ===，即所求二面角的余弦值是.

方法2：

如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)O，

有向直線OA、OC、OP分別為x、y、z軸

建立空間直角坐標(biāo)系.

 (Ⅰ)證明：因?yàn)?sub>=(1，0，0)，

平面PAD的一個(gè)法向量為

r_PAD=(0，1，0)，

由? r_PAD=0，可得⊥r_PAD.

于是BC∥平面PAD. 

(Ⅱ)證明：因?yàn)?sub>=(0，-，-)，=(1，0，0)，=(0，-1，1)

且?=0，?=0，CB∩CP=C，

所以EF⊥平面PBC.

（也可以證明平行于平面PBC的一個(gè)法向量）

(Ⅲ) 解：容易求出平面PAB的一個(gè)法向量為r_PAB=(，0，)，

及平面PAC的一個(gè)法向量為r_PAC=(1，1， 1)，

因?yàn)?i>r_PAB? r_PAC=+=1，|r_PAB|=，|r_PAC|=，

所以cos<r_PAB， r_PAC>==，即所求二面角的余弦值是.