Question

已知點(diǎn)F是雙曲線(xiàn)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是________．

 

Answer 1

(1,2)

【解析】由題意知，△ABE為等腰三角形．若△ABE是銳角三角形，則只需要∠AEB為銳角．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，只要∠AEF<即可．直線(xiàn)AB的方程為x＝－c，代入雙曲線(xiàn)方程得y2＝，取點(diǎn)A，則|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.