Question

20．設(shè)二次函數(shù)f（x）同時滿足下列條件：①f（0）=8；②f（x-2）為偶函數(shù)；③關(guān)于x的方程f（x）=4有兩個不等實根x₁，x₂，且$|{x_1}-{x_2}|=2\sqrt{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）求出函數(shù)的表達式，結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，∴f（0）=8，∴c=8（1分）
因為f（x-2）=a（x-2）²+b（x-2）+8=ax²-（4a-b）x+4a²-2b+8為偶函數(shù)
∴4a-b=0，即b=4a（3分）
又方程f（x）=4?ax²+4ax+4=0
由$|{x_1}-{x_2}|=2\sqrt{2}$得$\frac{{\sqrt{{{（4a）}^2}-16a}}}{|a|}=2\sqrt{2}$，解得a=2，從而b=8（5分）
∴f（x）=2x²+8x+8=2（x+2）²（6分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）-kx=2x²+（8-k）x+8，其對稱軸為$x=\frac{k-8}{4}$（8分）
∵當x∈[-2，2]時，g（x）是單調(diào)函數(shù)
∴$\frac{k-8}{4}≤-2$或$\frac{k-8}{4}≥2$（10分）
解得k≤0或k≥16，即實數(shù)k的取值范圍是（-∞，0]∪[16，+∞）．（12分）

點評 本題主要考查二次函數(shù)的解析式的求解以及一元二次函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的應(yīng)用，考查學生的運算和推理能力．