Question

已知正三棱錐的側棱長為2，三條側棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐外接球的表面積為

 

．

Answer 1

分析：利用正三棱錐三條側棱兩兩互相垂直，構造邊長為2的正方體，則正方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑即可求出球的表面積．

解答：解：∵正三棱錐三條側棱兩兩互相垂直，
∴構造邊長為2的正方體，
則正方體的體對角線為外接球的直徑，
設球半徑為r，
則正方體的體對角線長為2

3

=2r，
即正三棱錐外接球的半徑r=

3

，
∴正三棱錐外接球的表面積為4πr²=4×3π=12π．
故答案為：12π．

點評：本題主要考查球的表面積公式的計算，根據(jù)正三棱錐的側棱關系構造正方體，根據(jù)正方體的體對角線和球直徑之間的關系求出球半徑是解決本題的關鍵．