Question

18．已知函數f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1的圖象與x軸相切．
（Ⅰ）求證：f（x）≤$\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}$；
（Ⅱ）若1＜x＜$\sqrt$，求證：（b-1）log_bx＞$\frac{{{x^2}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數的導函數，設出切點坐標，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）=0\\ f'（{x_0}）=0\end{array}\right.$，求解方程組可得a=x₀=1，則函數解析式可求，把要證明的不等式轉化為lnx≤x-1．設h（x）=lnx-x+1，利用導數求其最大值得答案；
（Ⅱ）設$g（x）=（b-1）{log_b}x-\frac{{{x^2}-1}}{2}$，求其導函數，利用導數求其最大值可證答案．

解答 證明：（Ⅰ）證明$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}$，
設f（x）的圖象與x軸相切于點（x₀，0），
則$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）=0\\ f'（{x_0}）=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}ln{x_0}+\frac{a}{x_0}-1=0\\ \frac{1}{x_0}-\frac{a}{{{x_0}^2}}=0\end{array}\right.$，解得a=x₀=1，
∴$f（x）=lnx+\frac{1}{x}-1$，
$f（x）≤\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}$?lnx≤x-1．
設h（x）=lnx-x+1，則$h'（x）=\frac{1}{x}-1$，
當0＜x＜1時，h'（x）＞0，h（x）單調遞增；
當x＞1時，h'（x）＜0，h（x）單調遞減，
∴h（x）≤h（1）=0，
即lnx≤x-1，（*）
∴$f（x）≤\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}$；
（Ⅱ）設$g（x）=（b-1）{log_b}x-\frac{{{x^2}-1}}{2}$，$g'（x）=\frac{b-1}{xlnb}-x=\frac{{（-lnb）{x^2}+b-1}}{xlnb}$，
由g'（x）=0，得${x_0}=\sqrt{\frac{b-1}{lnb}}$．
由（*）式可得，當x＞1時，lnx＜x-1，即$\frac{x-1}{lnx}＞1$；
以$\frac{1}{x}$代換x可得$ln\frac{1}{x}＜\frac{1}{x}-1$，有$lnx＞\frac{x-1}{x}$，即$\frac{x-1}{lnx}＜x$．
∴當b＞1時，有$1＜{x_0}＜\sqrt$．
當1＜x＜x₀時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增；
當${x_0}＜x＜\sqrt$時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減，
又∵$g（1）=g（\sqrt）=0$，∴g（x）＞0，
即$（b-1）{log_b}x＞\frac{{{x^2}-1}}{2}$．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數求函數在閉區(qū)間上的最值，訓練了利用導數證明函數不等式，是中檔題．