Question

 

已知橢圓的兩個焦點分別為和,過點的直線與橢圓相交于兩點,且,．

   （I）求橢圓的離心率；

   （II）求直線的斜率；

   （III）設(shè)點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,直線上有一點在 的外接圓上,求的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）由且，得，則，

解得．故離心率．…………………………………………3分

   （Ⅱ）解法1.由(Ⅰ)，得，所以，橢圓方程為．

設(shè)直線的方程為，即．

設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組

消去，并整理得．

依題意，　　，解得．

由根與系數(shù)的關(guān)系得

　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、凇�

由點是線段的中點，得，

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

由①，③解得　

將代入②解得　　

解法2. 由(Ⅰ)，得，所以，橢圓方程為．

設(shè)直線的方程為,又設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組

消去，并整理得,

依題意，,解得.

由點是線段的中點，得.                           ①

由根與系數(shù)的關(guān)系得

,                                             ②　

,                                               ③

由①, ②得  ,代入③并整理得

   ,即,于是.

直線的斜率為．…………………………………………7分

(Ⅲ) 解法1. 由(Ⅱ)解法1可得(或由解法2得)

當(dāng)時,,則,(如圖)

,的中點為.

于是線段的垂直平分線方程為

   　　,

直線與軸的交點是的外接圓的圓心.

因此, 的外接圓的方程為  .

直線的斜率為,直線的方程為 .

于是,點的坐標(biāo)滿足方程組

由,解得所以,．

當(dāng)時,同理可得．所以，．

解法2. 由(Ⅱ)得,

當(dāng)時,,則,

由橢圓的對稱性可知,于是三點共線．

因為點在的外接圓上，且，

所以，四邊形為等腰梯形．

由直線的方程為 ，則點的坐標(biāo)滿足．

因為，則，

解得　（舍），或，則，所以．

當(dāng)時,同理可得．所以，．

解法3. 若點在的外接圓上,則.

由(Ⅱ)得,

當(dāng)時,,則,

由直線的方程為 ，則點的坐標(biāo)滿足．

于是,

,

由向量的夾角公式得：,

則.

.

          ,

           ,

即,由得,則，所以．

當(dāng)時,同理可得．所以，．………………13分

說明：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和集合性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運算能力和推理能力．

由(Ⅱ)得，滿足條件的直線過橢圓的短軸的頂點，這個結(jié)論是下面的一般結(jié)論的一個特例．

命題：已知橢圓的兩個焦點分別為和,過點的直線與橢圓相交于兩點,若，則該直線一定過或點．

證明．由知，，則，即

，所以，，．

設(shè)直線的方程為，，則它們的坐標(biāo)滿足方程組

　　　　　　　　

消去得．

由得，

于是，　　　　　　　�、�

　　　，　　　　　　　　　②

解①得，代入②，

　　　　，

解出得，由及②得

　　　　　　　　　③

把代入③式并整理得　，．命題得證．