Question

已知拋物線x²=2py（p＞0），過焦點F的動直線l交拋物線于A，B兩點，拋物線在A，B兩點處的切線相交于點Q．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求點Q的縱坐標；
（Ⅲ）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）設直線l的方程為．將它與拋物線的方程聯(lián)立組成方程組，消去y得到關于x的二次方程，再結合根與系數(shù)的關系即可求出
的值；
（II）利用導數(shù)幾何意義求出切線的斜率，從而求得切線的方程，最后聯(lián)立直線的方程組成方程組求出交點Q的坐標即可；
（III）欲證明：．分別求出左式和右式，看它們是否相等即可．為了求得左右兩式，須結合（1）中的方程中根與系數(shù)的關系，以及（2）求得和Q的坐標求解即可．
解答：（Ⅰ）解：∵，
∴設直線l的方程為．
由可得x²-2pkx-p²=0．（2分）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²．（3分）

=（4分）
∴．（5分）
（Ⅱ）解：由x²=2py，可得，
∴．
∴拋物線在A、B兩點處的切線的斜率分別為．
∴在點A處的切線方程為，即．（7分）
同理在點處B的切線方程為．
解方程組
可得
即點Q的縱坐標為．（9分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可知，，
∴，（11分）
又，
∴
=
=（1+k²）p²．
∴．（13分）
點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質、直線與圓錐曲線的綜合問題等知識．屬于中檔題．