Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，求|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|的值；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2$λ|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的最小值是-$\frac{3}{2}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由于$|\overrightarrow{a}|$=1，$|\overrightarrow|$=1.$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cos2x．|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$．
（2）$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{2+2cos2x}$，f（x）=2（|cosx|-λ）²-2λ²-1，分類討論：當(dāng)λ＞1時(shí)，當(dāng)λ＜0時(shí)，當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{3x}{2}+si{n}^{2}\frac{3x}{2}}$=1，$|\overrightarrow|$=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{x}{2}+（-sin\frac{x}{2}）^{2}}$=1．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$cos\frac{3x}{2}cos\frac{x}{2}$-$sin\frac{3x}{2}sin\frac{x}{2}$=cos2x=cosπ=-1．
∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{1+1-2×（-1）}$=2．
（2）$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{2+2cos2x}$=2|cosx|，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2$λ|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$=cos2x-4λ|cosx|=2cos²x-4λ|cosx|-1
=2（|cosx|-λ）²-2λ²-1，
當(dāng)λ＞1時(shí)，當(dāng)|cosx|=1時(shí)，f（x）取得最小值2-4λ-1=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{5}{8}$．
當(dāng)λ＜0時(shí)，當(dāng)|cosx|=0時(shí)，f（x）取得最小值-1≠-$\frac{3}{2}$，舍去．
當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，當(dāng)|cosx|=λ時(shí)，f（x）取得最小值-2λ²-1=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$±\frac{1}{2}$．
綜上可得：λ=$\frac{5}{8}$，或$±\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．