Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為K_n，a₃=5，2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2），K₁₀=100；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，sn=

1

2

(1-bn)，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n；
（3）若c_n=

Knbn

n

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）數(shù)列{a_n}滿足：2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2），可得此數(shù)列是等差數(shù)列．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（3）利用“錯位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解　（1）∵數(shù)列{a_n}滿足：2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2），∴此數(shù)列是等差數(shù)列．
設(shè)公差為d，∵a₃=5，K₁₀=100，
∴

a1+2d=5 10a1+ 10×9 2 d=100

，解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）當(dāng)n≥2時，
b_n=S_n-S_n-1=

1

2

（1-b_n）-

1

2

（1-b_n-1）
=-

1

2

b_n+

1

2

b_n-1，
2b_n=-b_n+b_n-1
∴由題意可知b_n-1≠0，

bn

bn-1

=

1

3

，
∴{b_n}是公比為

1

3

的等比數(shù)列．
∵S₁=b₁=

1

2

（1-b₁），b₁=

1

3

．
∴bn=

1

3

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．
（3）由（1）可得K_n=

n(1+2n-1)

2

=n²．
∴cn=

n2•( 1 3 )n

n

=n•(

1

3

)n．
∴T_n=1×

1

3

+2×(

1

3

)2+…+(n-1)•(

1

3

)n-1+n•(

1

3

)n，

1

3

Tn=1×(

1

3

)2+2×(

1

3

)3…+(n-1)•(

1

3

)n+n•(

1

3

)n+1，
∴

2

3

Tn=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-n•

1

3n+1

=

1 3 •(1- 1 3n )

1- 1 3

-n•

1

3n+1

=

1

2

(1-

1

3n

)-

n

3n+1

，
∴T_n=

3

4

-

3+2n

4×3n

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、“當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”、“錯位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．