Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)＝4x³－2ax＋a．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＋|2－a|＞0．

Answer 1

解：由題意得f′(x)＝12x²－2a．

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．

當(dāng)a＞0時(shí)，，

此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

和．

單調(diào)遞減區(qū)間為．

證明：由于0≤x≤1，故當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)＋|a－2|＝4x³－2ax＋2≥4x³－4x＋2．

當(dāng)a＞2時(shí)，f(x)＋|a－2|＝4x³＋2a(1－x)－2≥4x³＋4(1－x)－2＝4x³－4x＋2．

設(shè)g(x)＝2x³－2x＋1,0≤x≤1，

則g′(x)＝6x²－2＝，

于是在x∈(0,1)上，當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的變化情況如下表：

x	0				1
g′(x)		－	0	＋
g(x)	1	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	1