Question

如圖，已知的直徑AB＝3，點(diǎn)C為上異于A，B的一點(diǎn)，平面ABC，且VC＝2，點(diǎn)M為線段VB的中點(diǎn).

(1)求證：平面VAC；

(2)若AC＝1，求二面角M－VA－C的余弦值.

 

 

Answer 1

(1)見解析；(2)

【解析】

試題分析：(1)證明直線與平面垂直的關(guān)鍵是證明該直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直；(2)求二面角可以利用幾何法，先找出二面角的平面角，也可以利用空間坐標(biāo)系，找出平面的法向量求解.

試題解析：(1)∵平面，平面

∴ 2分

∵點(diǎn)C為上一點(diǎn)，且AB為直徑

∴ 4分

又平面VAC，

∴平面VAC； 6分

(2)由(1)得，

分別以CA，CB，CV所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz如圖所示. 7分

則A(1，0，0)，V(0，0，2)，B(0，2，0)

設(shè)平面VAC的法向量為 8分

＝(1，，，，－2)，＝(－1，2，0)

設(shè)平面VAM的法向量為n＝(x，y，z)

由，得

取，得x＝4，z＝2

即 9分

∴ 11分

∴二面角M－VA－C的余弦值為. 12分

考點(diǎn)：空間直線與平面垂直的判定，二面角的計算，空間直角坐標(biāo)系，空間向量的應(yīng)用.