Question

在直角坐標系中，設(shè)矩形OPQR的頂點按逆時針順次為O(0,0)、P(1，t)、Q(1-2t,2+t)、R(-2t,2),其中t∈(0,+∞).

(1)求矩形OPQR在第一象限部分的面積S(t);

(2)確定函數(shù)S(t)的單調(diào)區(qū)間并加以說明.

Answer 1

解：(1)①當1-2t＞0即t∈(0,)時，點Q在第一象限(如圖所示)，令矩形和y軸交于K，由QR方程為=.

    令x=0,y=2t²+2,K(0,2t²+2),S_{四邊形OPQK}=S_矩形OPQR-S_△ORK=2()²-(2t²+2)·2t

    =2(1-t+t²-t³).

    ②當1-2t≤0,即t∈［,+∞］時，S_△ORK即為所求，點Q在y軸上或第二象限(如圖所示)，由直線PQ方程為y-t=-(x-1)，令x=0,y=t+,S_△OPK=(t+)·1=(t+).

    ∴S(t)=

    (2)①當t∈(0,)時，S(t)=2(1-t+t²-t³),S′(t)=2(-1+2t-3t²)＜0,∴S(t)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減.

    ②當t∈(,+∞)時，S(t)=(t+),S′(t)=(1-),當1-＞0，即t∈(1,+∞)時，S(t)單調(diào)遞增.當1-＜0,即t∈(,1)時，S(t)單調(diào)遞減.