Question

6．設(shè)a₁，a₂，…a_n，…為一實數(shù)數(shù)列，且對所有的正整數(shù)n滿足a_n+1=$\frac{n（n+1）}{2}$-a_n
請問下列哪些選項是正確的？
（1）如果a₁=1，則a₂=1
（2）如果a₁是正整數(shù)，則此數(shù)列的每一項都是整數(shù)
（3）如果a₁是無理數(shù)，則此數(shù)列的每一項都是無理數(shù)
（4）a₂≤a₄≤…≤a_2n≤…（n為正整數(shù)）
（5）如果a_k是奇數(shù)，則a_k+2，a_k+4，…，a_k+2n，…都是奇數(shù)（n為正整數(shù)）

Answer 1

分析 利用遞推公式對五個逐個進行判斷，由此能求出結(jié)果．

解答 解：由a₁，a₂，…a_n，…為一實數(shù)數(shù)列，且對所有的正整數(shù)n滿足a_n+1=$\frac{n（n+1）}{2}$-a_n，知：
在（1）中：若a₁=1，則${a}_{2}=\frac{1×2}{2}-1$=0，故（1）錯誤，
在（2）中：若a₁是整數(shù)，且對所有正整數(shù)n，$\frac{n（n+1）}{2}$必為整數(shù)，
∴${a}_{2}=\frac{n（n+1）}{2}-{a}_{1}$為整數(shù)，${a}_{n+1}=\frac{n（n+1）}{2}-{a}_{n}$為整數(shù)，故（2）正確；
在（3）中：若a₁是無理數(shù)，則${a}_{2}=\frac{1×2}{2}-{a}_{1}=1-{a}_{1}$是無理數(shù)，
∴${a}_{n+1}=\frac{n（n+1）}{2}-{a}_{n}$是無理數(shù)，故（3）正確；
在（4）中：${a}_{n+2}=\frac{（n+1）（n+2）}{2}-{a}_{n+1}$=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}-$（$\frac{n（n+1）}{2}-{a}_{n}$）=a_n+（n+1），
∴a_n+2＞a_n，∴a₂≤a₄≤…≤a_2n≤…（n為正整數(shù)），故（4）正確；
在（5）中：∵a_k+2=a_k+（k+1），∴a₃=a₁+2，a₅=a₃+4，a₇=a₅+6，…
且a₄=a₂+3，a₆=a₄+5，a₈=a₆+7，…
∴若a₁是奇數(shù)，則a₃，a₅，…都是奇數(shù)，∴a_2n+1都是奇數(shù)，
若a₂是奇數(shù)，則a₄是偶數(shù)，a₆是奇數(shù)，…，∴a_2n+2奇偶相間，故（5）錯誤．
綜上：（1）、（5）錯誤，（2）、（3）、（4）正確．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意遞推公式的合理運用．