Question

某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2010年進行一系列的促銷活動。經(jīng)市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷售量x萬件與年消費量用t萬元之間滿足：3-x與t+1成反比例。如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件。又2010年生產(chǎn)化妝品的固定投資為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需要投資32萬元。當將化妝品的售價定為“年平均成本的150%”與“年平均每件所占促銷費的一半”之和，則當年的產(chǎn)銷量相等。
（1）試用促銷費用t表示年銷售量x；
（2）將2010年的利潤y萬元表示為促銷費用t萬元的函數(shù)；
（3）該企業(yè)2010年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？

Answer 1

解：（1）由題意，得，
且當時，，所以k=2，
即。
（2）當年銷量x萬件時，成本為3+32x（萬元），
化妝品的售價為（萬元/萬件），
所以年利潤（萬元），
把代入整理，
得，其中。
（3）將去分母，
整理得到，
該關(guān)于t的方程在上有解，
當即時，必有一解；
當時，該關(guān)于t的方程必須有兩正根，
所以，
解得：，
綜上，年利潤最大為42萬元，此時促銷費t=7（萬元）。