Question

如下圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，AB＝8，，側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60°．

(1)求四棱錐P-ABCD的體積．

(2)求證：PA⊥BD

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)如圖，取AD的中點E，連結(jié)PE，則PE⊥AD．作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連結(jié)OE． 根據(jù)三垂線定理的逆定理，得OE⊥AD，所以Ð PEO為側(cè)面PAD與底面所成二面角的平面角． 由已知條件可知Ð PEO=60°，PE＝6，所以，四棱錐P-ABCD的體積＝96． (2)如圖，連結(jié)AO，延長AO交BD于F．通過計算可得EO＝3，．又知，AB=8，得． 所以Rt△AEO∽Rt△BAD. 得． 所以＝90°. 所以AF⊥BD. 因為直線AF為直線PA在平面ABCD內(nèi)的射影，所以PA⊥BD.

提示：

本小題考查立體幾何中體積和線線垂直問題． (1)通過三垂線定理作出側(cè)面PAD與底面所在二面角的平面角，再由勾股定理，求得P到底面距離，即可求解． (2)證明PA⊥BD有兩種方法，方法1用三垂線定理求證，方法2先建立空間直角坐標系，再由得證．本題中我們只使用方法1，方法2留待同學(xué)們考慮．