Question

3．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）．當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0．若a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$），b=-2f（-2），c=（ln$\frac{1}{2}$）f（ln$\frac{1}{2}$），則a、b、c的大小關(guān)系是（　�。�

• A． a＜b＜C
• B． b＜c＜a
• C． c＜a＜b
• D． a＜c＜b

Answer 1

分析 根據(jù)式子得出F（x）=xf（x）為R上的偶函數(shù)，利用f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0．
當(dāng)x＞0時(shí)，x•f′（x）+f（x）＞0，
當(dāng)x＜0時(shí)，x•f′（x）+f（x）＜0，判斷單調(diào)性即可證明a，b，c 的大�。�

解答 解：∵定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f（x），
∴F（x）=xf（x）為R上的偶函數(shù)，
F′（x）=f（x）+xf′（x）
∵當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，x•f′（x）+f（x）＞0，
當(dāng)x＜0時(shí)，x•f′（x）+f（x）＜0，
即F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減．
F（$\frac{1}{2}$）=a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=F（ln$\sqrt{e}$），F(xiàn)（-2）=b=-2f（-2）=F（2），F(xiàn)（ln$\frac{1}{2}$）=c=（ln$\frac{1}{2}$）f（ln$\frac{1}{2}$）=F（ln2），
∵ln$\sqrt{e}$＜ln2＜2，
∴F（ln$\sqrt{e}$）＜F（ln2）＜F（2）．
即a＜c＜b
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，根據(jù)給出的式子，得出需要的函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷即可，屬于中檔題．