Question

如圖：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E為PA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）EF∥平面PCD
（Ⅱ）平面BDP⊥平面ACP．

Answer 1

分析：（I）取PD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、CG，利用三角形中位線(xiàn)定理和菱形的性質(zhì)，證出CF

∥

.

EG，得四邊形CFEG為平行四邊形，從而EF∥CG，利用線(xiàn)面平行判定定理，即可證出EF∥平面PCD；
（II）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，再菱形ABCD中AC⊥BD，從而得到BD⊥平面ACP，再由面面垂直判定定理，即可證出平面BDP⊥平面ACP．

解答：解：（I）取PD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、CG，
∵ABCD是菱形，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴CF

∥

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1

2

AD
∵EG是△PAD的中位線(xiàn)，∴EG

∥

.

1

2

AD，可得CF

∥

.

EG
∴四邊形CFEG為平行四邊形，可得EF∥CG
∵CG?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥平面PCD；
（II）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∵PA、AC是平面ACP內(nèi)的相交直線(xiàn)，∴BD⊥平面ACP
∵BD?平面BDP，∴平面BDP⊥平面ACP．

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊四棱錐中證明線(xiàn)面平行和面面垂直．著重考查了空間線(xiàn)面平行的判定定理、線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)和面面垂直的判定定理等知識(shí)，屬于中檔題．