Question

10．如圖，梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2AD=2，四邊形BDEF為矩形，
平面BDEF丄平面ABCD，BD⊥CF．
（1）若AF⊥CE，求證：CE⊥DF
（2）在棱AE上是否存在點(diǎn)G，使得直線BG∥平面EFC？并說(shuō)明理由•

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA、DC‘DE為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CE⊥DF．
（2）求出平面EFC的一個(gè)法向量，利用向量法推導(dǎo)出在棱AE上存在點(diǎn)G，使得直線BG∥平面EFC，且$\frac{AG}{GE}$=$\frac{1}{2}$．

解答 證明：（1）∵梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2AD=2，四邊形BDEF為矩形，
平面BDEF丄平面ABCD，BD⊥CF，AF⊥CE，
∴DA、DC、DE兩兩垂直，
∴以D為原點(diǎn)，DA、DC‘DE為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)DE=m，AB=y，則D（0，0，0），B（1，y，0），A（1，0，0），E（0，0，m），F(xiàn)（1，y，m），C（0，2，0），
$\overrightarrow{DB}=（1，y，0），\overrightarrow{CF}=（1，y-2，m）$，
∵BD⊥CF，∴$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{CF}=1+{y}^{2}-2y=0$，解得y=1，
∴$\overrightarrow{AF}$=（0，1，m），$\overrightarrow{CE}$=（0，-2，m），$\overrightarrow{DF}$=（1，1，m），
∵AF⊥CE，∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}$=-2+m²=0，
∵$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{DF}$=-2+m²，∴$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{DF}$=0，
∴CE⊥DF．
解：（2）在棱AE上存在點(diǎn)G，使得直線BG∥平面EFC，且$\frac{AG}{GE}$=$\frac{1}{2}$．
證明如下：
由（1）知G（$\frac{2}{3}，0，\frac{m}{3}$），
∴$\overrightarrow{BG}$=（-$\frac{1}{3}，-1，\frac{m}{3}$），$\overrightarrow{EF}$=（1，1，0），$\overrightarrow{EC}$=（0，2，-m），
設(shè)平面EFC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=a+b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=2b-mc=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，$\frac{2}{m}$），
∵$\overrightarrow{BG}•\overrightarrow{n}$=（-$\frac{1}{3}$）×（-1）+（-1）×1+$\frac{m}{3}•\frac{2}{m}$=0，
∴$\overrightarrow{BG}⊥\overrightarrow{n}$，
∵BG?平面EFC，
∴BG∥平面EFC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查滿足線面平行的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．