Question

5．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為非零向量，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義證明向量性質(zhì)：|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|，并用該性質(zhì)證明不等式：（mp+nq）²≤（m²+n²）（p²+q²）

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的定義便有$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow||cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞|$$≤|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，從而得出原不等式成立，并能看出當(dāng)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$中有一個(gè)為零向量或都為零向量時(shí)，原不等式也成立．觀察要證的第二個(gè)不等式，可想到設(shè)$\overrightarrow{a}=（m，n）$，$\overrightarrow=（p，q）$，利用$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow|≤|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$便可證出第二個(gè)不等式成立．

解答 證明：$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow|=||\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞|$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow||cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞＞|$；
$|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞|≤1$；
∴$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow|≤|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，顯然$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$中有一個(gè)為零向量或都為零向量時(shí)該不等式也成立；
設(shè)$\overrightarrow{a}=（m，n）$，$\overrightarrow=（p，q）$，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=mp+nq$；
∴$|mp+nq|=|\overrightarrow{a}•\overrightarrow|≤|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$=$\sqrt{（{m}^{2}+{n}^{2}）}•\sqrt{（{p}^{2}+{q}^{2}）}$；
∴（mp+nq）²≤（m²+n²）（p²+q²）；
綜上得原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的定義，及計(jì)算公式，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度，構(gòu)造向量解題的方法．