Question

設函數f（x）=x³+
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x時，對任意實數k∈[-1，1]．f（x）＜λ²+（k-4）λ-2k恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）定義域：（-∞，0）∪（0，+∞），
f′（x）=3x²-，令f′（x）＞0，則x＜-1或x＞1，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），
令f′（x）＜0，則-1＜x＜1，
∴f（x）的減區(qū)間為（-1，0），（0，1）；
（2）令f′（x）=3x²-=0，得x=±1，
∵x∈[-2，-1]時，f（x）為增函數；x∈[-1，-]時，f（x）為減函數．
∴x=-1時，f（x）_max=f（-1）=-4，
∴由題意，得λ²+（k-4）λ-2k＞-4對任意k∈[-1，1]恒成立，
即k∈[-1，1]時（λ-2）k+λ²-4λ+4＞0恒成立．
令g（k）=（ λ-2）k+λ²-4λ+4，
只需即可，∴，
解得：λ＜1或λ＞3即為所求．
分析：（1）定義域：（-∞，0）∪（0，+∞），求出f′（x），在定義域內解f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）當x時，對任意實數k∈[-1，1]．f（x）＜λ²+（k-4）λ-2k恒成立，等價于f（x）_max＜λ²+（k-4）λ-2k對任意實數k∈[-1，1]恒成立，轉化為關于k的函數，根據一次函數恒成立令端點處函數值均大于0即可．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及求函數在閉區(qū)間上的最值問題，考查函數恒成立問題，函數恒成立問題往往轉化為函數最值問題解決．