Question

10．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），當x∈[-3，-2]時，f（x）=x²+4x+3，則y=f[f（x）]+1在區(qū)間[-3，3]上的零點個數(shù)為（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 4個
• D． 6個

Answer 1

分析 由題意，偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的值域為[-1，0]，確定f（x）=0，即可得出y=f[f（x）]+1在區(qū)間[-3，3]上的零點個數(shù)．

解答 解：∵當x∈[-3，-2]時，f（x）=x²+4x+3=（x+2）²-1∈[-1，0]；
又f（x）為R上的偶函數(shù)，
∴當x∈[2，3]時，f（x）∈[-1，0]；
又f（x+2）=f（x），∴f（x）為以2為周期的函數(shù)，
由題意，偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的值域為[-1，0]，
由f[f（x）]+1=0得到f[f（x）]=-1，于是可得f（x）=0或±2（舍棄），
由f（x）=0可得x=±1，±3，
所以y=f[f（x）]+1在區(qū)間[-3，3]上的零點個數(shù)為4．
故選：C，

點評 本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性、函數(shù)圖象的對稱性，體現(xiàn)數(shù)形結合的數(shù)學思想．考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)已知條件分析函數(shù)的性質，進而判斷出函數(shù)零點的分布情況是解答本題的關鍵．