Question

三棱錐P-ABC中，側面PAC與底面ABC垂直，PA=BP=PC=3，

（1）求證：AB ⊥ BC；

（2）設AB=BC=，求AC與平面PBC所成角的大小.

 

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：如圖1，取AC中點D，連結PD、BD.     因為PA=PC，所以PD⊥AC，又已知面PAC⊥面ABC， 所以PD⊥面ABC，D為垂足. 因為PA=PB=PC，所以DA=DB=DC， 可知AC為△ABC的外接圓直徑，因此AB⊥BC. （Ⅱ）解：如圖2，作CF⊥PB于F，連結AF、DF. 因為△PBC≌△PBA，所以AF⊥PB，AF=CF. 因此，PB⊥平面AFC， 所以面AFC⊥面PBC，交線是CF， 因此直線AC在平面PBC內的射影為直線CF， ∠ACF為AC與平面PBC所成的角. 在Rt△ABC中，AB=BC=2，所以BD= 在Rt△PDC中，DC= 在Rt△PDB中， 在Rt△FDC中，  所以∠ACF=30°. 即AC與平面PBC所成角為30°.