Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

-lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=3處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥5-3x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f（x）在x=3處取得極值，則f′（3）=0，求出a的值，然后驗(yàn)證即可；
（Ⅱ）設(shè)g(x)=f(x)+3x-5=

a

x

-lnx+3x-5，然后利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的最小值，使得最小值大于等于0，從而可求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=-

x+a

x2

．
由f'（3）=0，得a=-3．
當(dāng)a=-3時，由f'（x）＞0，得0＜x＜3，由f'（x）＜0，得x＞3，
∴f（x）在（0，3）上單調(diào)遞增，在（3，+∞）上單調(diào)遞減，
即f（x）在x=3處取得極大值，符合題意，則實(shí)數(shù)a=-3；
（Ⅱ）設(shè)g(x)=f(x)+3x-5=

a

x

-lnx+3x-5，則當(dāng)x＞0時，g（x）≥0恒成立，
由g（1）=a-2≥0，得a≥2，g′(x)=

3x2-x-a

x2

，
方程g'（x）=0有一負(fù)根x₁和一正根x₂，x₁＜0＜x₂．其中x₁不在函數(shù)定義域內(nèi)，
∴g（x）在（0，x₂）上是減函數(shù)，在（x₂，+∞）上是增函數(shù)，即g（x）在定義域上的最小值為g（x₂），
依題意只需g（x₂）≥0，即g(x2)=

a

x2

-lnx2+3x2-5≥0，
又∵3x22-x2-a=0，
∴

a

x2

=3x2-1，∵

a

x2

＞0，∴x2＞

1

3

，
∴g（x₂）=3x₂-1-lnx₂+3x₂-5≥0，即6x₂-6-lnx₂≥0．
令h（x）=6x-6-lnx，則h′(x)=

6x-1

x

，
當(dāng)x∈(

1

3

，+∞)時，h′（x）＞0，
∴h（x）是增函數(shù)．
又∵h(yuǎn)（1）=0，
∴6x₂-6-lnx₂≥0的解集為[1，+∞），即x₂≥1，
∴a=3x22-x2≥2，即a的取值范圍是[2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及函數(shù)的恒成立問題．對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．本題選用了參變量分離的方法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值問題．屬于中檔題．