Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時,（i）求曲線在點處的切線方程;

（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若,求證: .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（i），（ii）遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）（i）求出,求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（ii）分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）先利用導數(shù)證明,則，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)證明，則，從而可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）當時, ,定義域為

（i）

所以切點坐標為,切線斜率為

所以切線方程為

（ii）令,

所以在上單調(diào)遞減,且

所以當時, 即

所以當時, 即

綜上所述, 的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.

(Ⅱ)方法一:

,即

設(shè)

設(shè)

所以在小于零恒成立

即在上單調(diào)遞減

因為

所以,

所以在上必存在一個使得

即

所以當時, , 單調(diào)遞增

當時, , 單調(diào)遞減

所以

因為

所以

令得

因為,所以,

因為,所以恒成立

即恒成立

綜上所述,當時,

方法二:

定義域

為了證明,即

只需證明,即

令

則

令,得

令,得

所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

所以

即,則

令

因為,所以

所以恒成立

即

所以

綜上所述,

即當時, .

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線方程以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.