Question

如圖，游客在景點(diǎn)A處下山至C處有兩條路徑．一條是從A沿直道步行到C，另一條是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直道步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min．在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min，索道AB長為1040m，經(jīng)測(cè)量，cosA=

12

13

，cosC=

3

5

．
（Ⅰ） 求山路AC的長；
（Ⅱ） 假設(shè)乙先到，為使乙在C處等待甲的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可求得sinA與sinC，從而可求得sinB；在△ABC中，利用正弦定理即可求得山路AC的長；
（Ⅱ）由正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

可求得BC=500m，可求得甲共用時(shí)間與乙索道所用時(shí)間，設(shè)乙的步行速度為 vm/min，依題意，解不等式0＜

126

5

-（2+1+8+

500

v

）≤3即可．

解答：解：（Ⅰ）∵cosA=

12

13

，cosC=

3

5

，
∴A、C∈（0，

π

2

），
∴sinA=

5

13

，sinC=

4

5

，
∴sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

63

65

，
根據(jù)

AB

sinC

=

AC

sinB

得AC=

AB

sinC

sinB=

1040

4 5

•

63

65

=1260m，
∴山路AC的長為1260米．
（Ⅱ）由正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

得BC=

AC

sinB

sinA=

1260

63 65

×

5

13

=500m，
甲共用時(shí)間：

1260

50

=

126

5

，乙索道所用時(shí)間：

1040

130

=8，
設(shè)乙的步行速度為 vm/min，由題意得0＜

126

5

-（2+1+8+

500

v

）≤3，
整理得0＜

71

5

-

500

v

≤3，
∴

2500

71

＜v＜

625

14

，
∴為使乙在C處等待甲的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在（

2500

71

，

625

14

）m/min內(nèi)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查分析、推理與運(yùn)算能力，（Ⅱ）中得到不等式0＜

126

5

-（2+1+8+

500

v

）≤3是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查解決問題的能力，屬于難題．