Question

在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）中，記左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，短軸上方的端點(diǎn)為B．若該橢圓的離心率是

5 -1

2

，則∠ABF=

90°

．

Answer 1

分析：由題意得c=

5 -1

2

a，解出b²=a²-c²=

5 -1

2

a²．在△ABF中分別計(jì)算出|AB|²、|BF|²和|AF|²，可得AF|²=|AB|²+|BF|²，所以△ABF是以AF為斜邊的直角三角形，即∠ABF=90°．

解答：解：∵橢圓的離心率是

5 -1

2

，
∴c=

5 -1

2

a，可得|AF|=c+a=（

5 -1

2

+1）a=

5 +1

2

a．
而b²=a²-c²=

5 -1

2

a²，
∴|AB|²=|AO|²+|OB|²=

5 +1

2

a²．
因?yàn)閨BF|=

c2+b2

=a，
所以|AB|²+|BF|²=

5 +3

2

a²
∵|AF|²=（

5 +1

2

a）²=

5 +3

2

a²
∴|AF|²=|AB|²+|BF|²．得△ABF是以AF為斜邊的直角三角形，即∠ABF=90°．
故答案為：90°．

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊離心率的橢圓，求橢圓的上頂點(diǎn)對(duì)左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)的張角，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)、直角三角形的判定等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．