Question

2．已知圓的方程為 （x-1）²+（y-1）²=9，P（2，2）是該圓內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則AC•BD=（　�。�

• A． $6\sqrt{5}$
• B． $8\sqrt{5}$
• C． $10\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，AC為經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的圓的直徑，而B(niǎo)D是與AC垂直的弦．因此算出PM的長(zhǎng)，利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)算出BD長(zhǎng)，

解答 解：∵圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=9，
∴圓心坐標(biāo)為M（1，1），半徑r=3．
∵P（2，2）是該圓內(nèi)一點(diǎn)，
∴經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的直徑是圓的最長(zhǎng)弦，且最短的弦是與該直徑垂直的弦．
結(jié)合題意，得AC是經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的直徑，BD是與AC垂直的弦．
∵|PM|=$\sqrt{（1-2）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴由垂徑定理，得|BD|=2$\sqrt{7}$．
因此，|AC|•|BD|=6×2$\sqrt{7}$=12$\sqrt{7}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題給出圓內(nèi)一點(diǎn)P，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P最長(zhǎng)的弦與最短的弦構(gòu)成的四邊形的面積．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點(diǎn)間的距離公式和垂直于弦的直徑的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．