Question

18．若關(guān)于x的一元二次不等式x²-3ax+2a²≥0的解集是（-∞，x₁]∪[x₂，+∞）（x₁≠x₂），則a（x₁+x₂）+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$的最小值是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由題意可得x₁，x₂為x²-3ax+2a²=0的解，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得a（x₁+x₂）+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=3a²+$\frac{1}{2{a}^{2}}$，再由基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：關(guān)于x的一元二次不等式x²-3ax+2a²≥0的解集是（-∞，x₁]∪[x₂，+∞）（x₁≠x₂），
可得x₁，x₂為x²-3ax+2a²=0的解，
即有x₁+x₂=3a，x₁x₂=2a²，
則a（x₁+x₂）+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=3a²+$\frac{1}{2{a}^{2}}$≥2$\sqrt{3{a}^{2}•\frac{1}{2{a}^{2}}}$=$\sqrt{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)3a²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$時(shí)，上式取得最小值$\sqrt{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次不等式和二次方程的關(guān)系，注意運(yùn)用韋達(dá)定理，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．