Question

一個三次函數y=f（x），當x=3時取得極小值y=0，又在此函數的曲線上點（1，8）處的切線經過點（3，0），求函數f（x）的表達式．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：設f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），求出導數，由題意可得f（3）=0，f′（3）=0，f（1）=8，f′（1）=

8-0

1-3

=-4，列出a，b，c，d的四個方程，通過消元，解方程，即可得到f（x）的解析式，注意檢驗極值．

解答： 解：設f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
則f′（x）=3ax²+2bx+c，
當x=3時取得極小值y=0，
則有f（3）=0，即27a+9b+3c+d=0①
f′（3）=0，即有27a+6b+c=0②
在此函數的曲線上點（1，8）處的切線經過點（3，0），
則有f（1）=8，即a+b+c+d=8③
f′（1）=

8-0

1-3

=-4，即3a+2b+c=-4④
①-③可得，13a+4b+c=-4，⑤
②-④，得6a+b=1，
④-⑤得，b=-5a，
綜上，解得a=1，b=-5，c=3，d=9．
則f（x）=x³-5x²+3x+9．
由于f′（x）=3x²-10x+3，
當x＞3或x＜

1

3

時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當

1

3

＜x＜3時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
則當x=3時取得極小值．
故有f（x）=x³-5x²+3x+9．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程和求單調區(qū)間和極值，主要考查解方程的化簡運算能力，屬于中檔題．