Question

已知函數(shù)f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函數(shù)且滿足f（2）＜3，f（1）=2.

（1）求f（x）；

（2）說明f（x）在區(qū)間（-∞，-1]上的單調(diào)性.

Answer 1

思路解析：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.

解：（1）f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函數(shù)應(yīng)滿足f（-x）=-f（x）.

∵f（-x）==-f（x）

=-，

∴c=0，即f（x）=.

f（1）=2=a+1=2b，         ①

f（2）= ＜3.                         ②

將①式代入②式得-1＜a＜2，即a=0或a=1.當(dāng)a=0時(shí)，b=Z，此種情況不合題意；

當(dāng)a=1時(shí)，b=1∈Z，滿足題意，所以f（x）=.

（2）f（x）==x+，任取x₁＜x₂≤-1，則f（x₂）-f（x₁）=（x₂+）-（x₁+）=（x₂-x₁）+ =（x₂-x₁）（1-）.

∵x₁＜x₂≤-1，∴（x₂-x₁）＞0，x₁x₂＞1，即（x₂-x₁）（1-）＞0.

可得f（x₂）＞f（x₁）.

∴函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（-∞，-1]上是增函數(shù).