Question

（2012•樂山二模）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=

1

3

，并且a_n（a_n-1+a_n+1）2a_n+1a_n-1（n≥2），則數(shù)列的第2012項為（　　）

• A．2

  1

  2012

• B．2

  1

  2011

• C．

  1

  4023

• D．

  1

  4024

Answer 1

分析：利用遞推關(guān)系式推出﹛

1

an

﹜為等差數(shù)列，然后求出結(jié)果．

解答：解：∵a_n（a_n-1+a_n+1）=2a_n+1a_n-1（n≥2），
∴a_na_n-1+a_n+1a_n=2a_n+1a_n-1，兩邊同除a_n+1a_n-1，
得

an

an+1

+

an

an-1

=2，
兩邊同時除以a_n，得到

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

，
所以﹛

1

an

}為等差數(shù)列，
a₁=1，a₂=

1

3

，故an=

1

2n-1

，
所以a₂₀₁₂=

1

2×2012-1

=

1

4013

．
故選C．

點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，判斷數(shù)列是等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．