Question

兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，如下圖中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個(gè)五角形數(shù)記作a₁=1，第2個(gè)五角形數(shù)記作a₂=5，第3個(gè)五角形數(shù)記作a₃=12，第4個(gè)五角形數(shù)記作a₄=22，…，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，

（1）a₅=

 

；
（2）若a_n=117，則n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：常規(guī)題型,推理和證明

分析：本題屬于歸納推理題，由n=1，2，3，4歸納出其中的規(guī)律，（1）利用規(guī)律指導(dǎo)解題，求出第5項(xiàng)；（2）利用規(guī)律研究通項(xiàng)公式，再根據(jù)某一項(xiàng)的值，求出項(xiàng)數(shù)．

解答： 解：（1）觀察得知：
a₁=1=3×1-2
a₂=5=a₁+3×2-2，
a₃=12=a₂+3×3-2，
a₄=22=a₃+3×4-2，an=3(1+2+3+…+n)-2n=

3n2-n

2

…
（1）由此歸納猜想，得到：
a₅=a₄+3×5-2=22+15-2=35．
（2）歸納猜想，得到：
a_n=a_n-1+3n-2，（n≥2，n∈N^*）
將：
a₁=1=3×1-2
a₂=5=a₁+3×2-2，
a₃=12=a₂+3×3-2，
a₄=22=a₃+3×4-2，
…，
a_n=a_n-1+3n-2，（n≥2，n∈N^*）．
疊加得到：
an=3(1+2+3+…+n)-2n=

3n2-n

2

（n≥2，n∈N^*）．
令a_n=117，
即

3n2-n

2

=117，n=9．
故答案為：（1）35；（2）9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是歸納推理，難點(diǎn)在于歸納推理得到遞推規(guī)律以后，再利用遞推規(guī)律進(jìn)一步研究，得到通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式解題．有一定的思維量和運(yùn)算量，屬于中檔題．