Question

（1）若數列{a_n+1-αa_n}是公比為β的等比數列，證明：數列{a_n+1-βa_n}是公比為α的等比數列；（a₂-αa₁≠0，a₂-βa₁≠0，αβ≠0）
（2）若a_n+1-4a_n=3ⁿ，a₁=1
①求a_n
②證明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

4

3

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得a_n+1-αa_n=β（a_n-2a_n-1）=βa_n-αβa_n-1，從而a_n+1-βa_n=α（a_n-βa_n-1），由此能證明數列{a_n+1-βa_n}是公比為α的等比數列．
（2）①由已知得數列{a_n+1-3a_n}是公比為4的等比數列，從而a₂-3a₁=4，由此能求出an=4n-3n．
②由已知得an=4n-3n≥4^n-1，從而

1

an

≤

1

4n-1

，由此能證明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

4

3

．

解答： （1）證明：∵數列{a_n+1-αa_n}是公比為β的等比數列，
∴a_n+1-αa_n=β（a_n-2a_n-1）=βa_n-αβa_n-1，
∴a_n+1-βa_n=α（a_n-βa_n-1），
且a₂-βa₁≠0，α≠0，
∴數列{a_n+1-βa_n}是公比為α的等比數列．
（2）①解：∵an+1-4an=3n，a₁=1，
數列{a_n+1-4a_n}是公比為3的等比數列，
結合（1）的結論知：
數列{a_n+1-3a_n}是公比為4的等比數列，
a₂-3a₁=4，
∴an+1-3an=4n，
∵a_n+1-4a_n=3ⁿ，a₁=1，
∴an=4n-3n．
②證明：∵an=4n-3n=4^n-1+3•4^n-1-3^n-1
=4^n-1+3（4^n-1-3^n-1）≥4^n-1，
∴

1

an

≤

1

4n-1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

40

+

1

4

+…+

1

4n-1

=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4

3

-

4

3

×

1

4n

＜

4

3

．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

4

3

．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用．