Question

【題目】四棱柱中，側(cè)棱底面，底面為菱形，，

，.是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn).

（1）求證：平面 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

(1)根據(jù)已知條件證明平面，然后利用面面垂直的判定定理即可得到證明；（2）取中點(diǎn)，以射線，，的方向作為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求平面和平面的法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.

（1）證明：連接.因?yàn)?/span>，是的中點(diǎn)，所以.

又，所以平面，所以.

在中，，，所以.

在矩形中，，，是中點(diǎn)，所以.

所以平面，即平面.

又平面，所以平面平面.

（2）解：取中點(diǎn)，以射線，，的方向作為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

則，，，.

，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由

得取，則.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由

得

取，則

.

所以二面角的余弦值為.