Question

已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5,試求a的最值.

Answer 1

思路分析：本題求極值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來解.

解：由柯西不等式得，有

(2b²+3c²+6d²)()≥(b+c+d)²,

即2b²+3c²+6d²≥(b+c+d)².

由條件可得，5-a²≥(3-a)².

解得，1≤a≤2,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

代入b=1,c=,d=時(shí)，a_max=2;

b=1,c=,d=時(shí),a_min=1.

巧妙變式

    為了給運(yùn)用柯西不等式創(chuàng)造條件，經(jīng)常引進(jìn)一些待定的參數(shù)，其值的確定由題設(shè)或者由等號(hào)成立的充要條件共同確定，也有一些三角極值問題我們可以反復(fù)運(yùn)用柯西不等式進(jìn)行解決.而有些極值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號(hào)成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.這多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.