Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，定義：c_λ=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow$，其中0≤λ≤1．若${c_λ}•{c_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}$，則|c_λ|的值不可能為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由題意可得$|\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}|=1$，設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}，\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{{c}_{λ}}$，則B，C，D，P四點(diǎn)共線，在圓中畫出圖形，由${c_λ}•{c_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}$得到兩向量夾角的范圍，從而求得|c_λ|的范圍得答案．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，∴以$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$為鄰邊的平行四邊形為長(zhǎng)方形，
則$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=2$，
又$\overrightarrow{{c}_{λ}}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow=\frac{1}{2}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$，
則$|\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}|=|\frac{1}{2}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）|=\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$=1．
設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}，\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{{c}_{λ}}$，
由$\overrightarrow{{c}_{λ}}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow$，0≤λ≤1，可知B，C，D，P四點(diǎn)共線，
如右圖，
設(shè)$＜\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}，\overrightarrow{{c}_{λ}}＞=θ$，
∵${c_λ}•{c_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}$，∴由$\frac{1}{2}=\overrightarrow{{c}_{λ}}•\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$=$|\overrightarrow{{c}_{λ}}|cosθ$，得$\overrightarrow{{c}_{λ}}$在$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$上的投影為$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)B、P兩點(diǎn)重合時(shí)，$|\overrightarrow{{c}_{λ}}|=|\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}|$=1，$θ=\frac{π}{3}$，
當(dāng)P、D重合時(shí)，θ=0．
∴$|\overrightarrow{{c}_{λ}}|=\frac{1}{2cosθ}$，θ∈（0，$\frac{π}{3}$]，cosθ∈[$\frac{1}{2}$，1），
∴$|\overrightarrow{{c}_{λ}}|∈（\frac{1}{2}，1]$．
則|c_λ|的值不可能為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的幾何意義，涉及到向量的加、減法運(yùn)算法則，三點(diǎn)共線的向量表示，向量的投影等知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于難題．