Question

定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-，0）成中心對稱，對任意的實(shí)數(shù)x都有f（x）=-，且f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2009）的值為

1. A.
   -1
2. B.
   0
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：由已知中定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-，0）成中心對稱，對任意實(shí)數(shù)x都有f（x）=-，我們易判斷出函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，進(jìn)而由f（-1）=1，f（0）=-2，我們求出一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)的值，進(jìn)而利用分組求和法，得到答案．
解答：∵f（x）=-，
∴f（x+）=-則f（x+3）=-=f（x）
所以，f（x）是周期為3的周期函數(shù)．
則f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，f（）=-=-1
∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-，0）成中心對稱，
∴f（1）=-f（-）=-f（）=1
∵f（0）=-2
∴f（1）+f（2）+f（3）=1+1-2=0
∴f（1）+f（2）+…+f（2009）=f（1）+f（2）=1+1=2
故選C．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的周期性，其中根據(jù)已知中對任意實(shí)數(shù)x都有f（x）=-，判斷出函數(shù)的周期性，是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．