Question

F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，直線l：y=2x+5與橢圓交于P₁，P₂兩點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點恰好落在橢圓C的左準線l′上
（Ⅰ）求橢圓C的左準線方程；
（Ⅱ）已知

F1P1

•

OF2

，-

5

9

a2，

F2P2

•

OF2

成等差數(shù)列，求橢圓C的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點的坐標，即可求橢圓C的左準線方程；
（Ⅱ）把y=2x+5代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合

F1P1

•

OF2

，-

5

9

a2，

F2P2

•

OF2

成等差數(shù)列，橢圓C的左準線方程，求出a，b，即可求橢圓C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設對稱點為（x，y），則

y x •2=-1 y 2 =2• x 2 +5

，
∴x=-4，y=2，
∴橢圓C的左準線方程為x=-4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

a2

c

=4
設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）
把y=2x+5代入橢圓方程得：（4a²+b²）x²+20a²x+25a²-a²b²=0
∴x₁+x₂=-

20a2

4a2+b2

∵

F1P1

•

OF2

，-

5

9

a2，

F2P2

•

OF2

成等差數(shù)列
∴2×（-

5

9

a2）=

F1P1

•

OF2

+

F2P2

•

OF2

，
∴2×（-

5

9

a2）=（x₁+c）c+（x₂-c）c=（x₁+x₂）c
∴2×（-

5

9

a2）=（-

20a2

4a2+b2

）c
即

a2

9

=

2ca2

4a2+b2

把

a2

c

=4代入上式解得：a²=2b²，
又a²=b²+c²=b²+

a4

16

∴a²=8，b²=4
∴橢圓方程：

x2

8

+

y2

4

=1．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查韋達定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．